2011年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用+答案解析(通用版)

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第三节空间向量在立体几何中的应用一、选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D和AC的公垂线，则直线PQ与BD1的关系是()A．异面直线　　　　　　　　B．平行直线C．垂直但不相交D．垂直相交答案：B2．已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，则以下不等式中可能不成立的是(　　)A.PA·AB＝0B.PC·BD＝0C.PD·AB＝0D.PA·CD＝0答案：B3．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D—ABC的体积为(　　)A.B.C.a3D.a3答案：D4．如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)A．(1,1,1)B.C.D.解析：∵M在EF上，设ME＝x，∴M∵A(，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，，0)∴ED＝(，0，－1)，EB＝(0，，－1)，AM＝，设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)由，得.故可取一个法向量n＝(1,1，)，有n·AM＝0，∴x＝1，∴M，故选C.答案：C5．如下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若E、F分别是BC、DD1中点，则B1到平面ABF的距离为(　　)A.B.C.D.解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)，F，E，B(1,1,1)．AB＝(0,1,0)，B1E＝，FA＝，∵FA·B1E＝·＝0.∴AF⊥B1E，又AB⊥B1E.∴B1E⊥平面ABF.平面ABF的法向量为B1E＝，AB1＝(0,1，－1)．B1到平面ABF的距离为＝.答案：D二、填空题6．如下图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1的夹角为____________．解析：以D为坐标原点，建立如题图空间坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1)则AC＝(－1,1,0)，BC1＝(－1,0,1)，∴cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，即AC与BC1的夹角为60°.答案：60°7．如下图所示，已知矩形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4.将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD.现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内．则A，C两点的坐标分别是________，A，C两点的距离是______.解析：由于面BCD⊥面ABD，从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD的垂线，同理可得AE即为面BCD的垂线，故只需求得AE，CF，DE，DF的长度即可．答案：A，C　8．如下图所示，已知棱长为a的正四面体ABCD中，E、F在BC上，G在AD上，E是BC的中点，CF＝CB，AG＝AD，给出下列四个命题：①AC⊥BD；②FG＝a；③侧面与底面所成二面角的余弦值为；④AE·CB＜AE·CD.其中真命题的序号是______________.答案：①②③三、解答题9．(2009年滨州模拟)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，且PA＝AD＝2,E、F分别为棱AD、PC的中点．(1)求异面直线EF和PB所成角的大小；(2)求证：平面PCE⊥平面PBC；(3)求二面角E－PC－D的大小.解析：以直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系，如右图，则A(0,0,0),B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．(1)∵E为AD的中点，∴E(0,1,0),又F为PC的中点，∴F(1,1,1)．∴EF＝(1,0,1)．又PB＝(2,0，－2)，∴cos〈EF，PB〉＝＝0，∴cos〈EF，PB〉＝90°，异面直线EF和PB所成角的大小为90°.(2)证明：由(1)知EF⊥PB，又∵BC＝(0,2,0)，EF＝(1,0,1)∴EF·BC＝0,∴EF⊥BC.∴又EF⊂平面PCE,∴平面PCE⊥平面PBC.(3)过点D作DH⊥PC于H,在Rt△PDC中，PD＝2，DC＝2,PC＝2，则CH＝，PH∶HC＝2∶1,又P(0,0,2)，C(2,2,0)，∴H∴DH＝，又EF＝(1,0,1)，cos〈DH，EF〉＝＝，∴〈DH，EF〉＝30°.∴二面角E－PC－D的大小为30°.10．(2009年北京卷)如右图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．解析：法一：如右图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝a，PD＝h，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)∵AC＝(－a，a,0)，DP＝(0,0，h)，DB＝(a，a,0)，∴AC·DP＝0，AC·DB＝0，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，P，E，设AC∩BD＝O，连接OE,由(1)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，∵EA＝，EO＝，∴cos∠AEO＝＝，∴∠AOE＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.法二：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)设AC∩BD＝O，连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，OE＝PD，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，∴∠AOE＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.